Basit Sarkaç fizik ödevi ders notları


BASİT SARKAÇ

 

 

 

DENEYİN AMACI:  Basit sarkaçla yerçekimi ivmesinin bulunması.

 

 

TEORİK BİLGİ:

Yerçekimi İvmesi: Dinamiğin temel ilkesi uyarınca aynı bir noktaya yerleştirilen ve yalnızca ağırlıklarının etki ettiği bütün cisimlerin kazandıkları a ivmesidir. Serbestçe düşen bir cismin hızının artmasına yerçekimi ivmesi denir. Bir cismi etlileyen yerçekimi kuvveti, o cismin Dünya’nın merkezine olan uzaklığına bağlı olarak değişir. Bu nedenle yerçekimi ivmesi de , yeryüzünde bulunulan yere göre bir miktar değişiklik gösterir, yerçekimi ivmesi kutuplarda saniyede 9,83 metre bölü saniye, ekvatorda ise saniyede 9,78 metre bölü saniyedir. Yerçekimi ivmesi ortalama bir değer alınarak 9,81 m/sn  olarak kabul edilmiştir.  Yerçekimi kuvveti sabit olduğu için yerçekimi ivmesi de sabittir. Yani düşen bir cismin hızının artış hızı hep aynı kalır ve cisim düştüğü sürece her geçen saniyede  hızı aynı miktarda artar.

 

Basit (matematiksel) Sarkaç : Basit sarkaç, periyodik salınım hareketi yapan bir mekanik sistemdir. Sarkaç sabit L uzunluğındaki hafif bir ipin ucuna asılmış naktasal bir m kütlesinde oluşur. İpin üst ucu sabittir. Hareket düşey bir düzlemde gerçekleşir ve yer çekimi kuvveti ile beslenir. Sarkacın düşeyle yaptığı q açısının küçük olma şartıyla, hareketin basit harmonik titreşken hareketi ile  aynıdır. Basit sarkaç hareketi boyunca potansiyel enerjiyi kinetik enerjiye, kinetik enerjiyi potansiyel enerjiye çevirir.

 

Basit Harmonik Hareket : Bir cismin hareketi sırasında  koordinatının zamana bağlılığı bir sinüs ya da kosinüs fonksiyonu ise, buna basit harmonik hareket denir.

Açısal Frekans (w) : Salınımların sıklık oranını verir.

Period(t ) : Cismin hareketinin bir tam devrini tamamlaması için gereken süredir.

 

        Deneyde basit sarkacın yaptığı basit harmonik hareketden yola çıkarak ‘yerçekimi ivmesini’ bulmaya çalışacağız.

 

        Kütle üzerine etkiyen kuvvetler, ip boyunca etkiyen T gerilmesi ile m. g  ağırlığıdır. Ağırlığın teğetsel bileşeni m.g.sinq, daima  q = 0 noktasına yönelir ve yerdeğiştirmeye zıttır. Bu yüzden, teğetsel kuvvet geri çağırıcı bir kuvvettir. Teğetsel doğruda ki hareketin denklemi, 

 

Ft = – m.g.sinq = m . ( d s / dt ) olararak yazılabilir.

Burada s, yay boyunca ölçülen yerdeğiştirmedir ve eksi işareti Ft nin denge konumuna yöneldiğini gösterir.

s = L . q  ve L sabit olduğundan bu denklem

d q / dt  = – (g/ L). sinq  ya indirgenir.

Sağ taraf q ile değil sinq ile orantılıdır. Bu nedenle, hareketin basit harmonik olmadığı sonucuna varırız. Fakat, q nın çok küçük olduğunu kabul edersek, q radyan cinsinden olmak üzere  sinq~q yaklaşıklığını kullanabiliriz. Bu yaklaşıklık sinq = qq /3! + ….. olan sinq nın seri açılımı incelenerek anlaşılabilir. Örneğin

q = 0,1 gibi bir değer alınırsa açılımda  q dan sonra gelen değerler ihmal edilebilecek kadar küçük olur. Ayrıca     q =15  için  q ile sinq  arasındaki fark sadece yaklaşık

%1 dir. Bu nedenle hareket denklemi,

 

d q / dt  = – (g/ L). q  haline gelir.

Böylece, hareketin basit harmonik hareket olduğu sonucuna varırız. Bundan dolayı  qo maksimum açısal yerdeğiştirme olmak üzere , qq  = qo cos ( w.t + d) şeklinde yazabiliriz. Burada açısal frekans w,

 

w =  g / L ile verilir.

Hareketin periyodu,

 

t = 2p / w = 2p   L / g    olur.

 

(***)Bir basit sarkacın frekans ve periyodu yalnızca ipin boyu ve yerçekimi ivmesine bağlıdır. Periyod kütleden ve q açısından bağımsız olduğu için, eşit boydaki bütün basit sarkaçların aynı yerde eşit periyotla salındıkları sonucuna varırız.   

 

t = 2p .  L / g    denkleminden g yerçekimi ivmesini çekersek,

 

g = (4p .L) / t   formülünü kullanarak laboratuvar ortamındaki yerçekimini hesaplayabiliriz.

 Boyut analizinden  g yerçekimi ivmesinin birimi

[m / sn ] dir.

 

 

DENEYİN YAPILIŞI :

 

1) Sarkacı L uzunluğu bir cetvelle kütle yüzeyinden itibaren  n = 5  defa ölçülür ve buna sarkacın 

r= 3 cm’lik yarıçapı eklenerek ortalama sarkaç uzunluğu Lo bulunur.

 

 No       L ( cm )       Lo ( cm ) = L + r

  1              84,3                      87,3

  2              84,2                      87,2

  3              84,1                       87,1

  4              84,4                      87,4

  5              84,1                       87,1

 

SLo = 436,1 cm     ==>   Lo = 87,22 cm

 

2) Masa üzerine denge durumu gösteren bir işaret koyup, sarkacın topunu, küçük bir açı ( ~ 5 ) kadar saptırıp serbest bırakılır. İşaretli noktadan ardı ardına aynı yönde iki geçişi arasındaki zaman, bir periyotluk zamandır. Hatayı azaltmak için her seferinde  10 periyotluk 5 ölçüm yapılır.

 

 

No       10ti (sn)           ti (sn)

 1               19,05                       1,9

 2               19,10                        1,91

 3               19,11                         1,911

 4               19,05                       1,905

 5               18,90                       1,890

 

   Sti = 9,516 sn   ==>  ti = 1,90302 sn

 

3) g = (4p .L) / t   formülünden g yerçekimi ivmesi hesaplanır.

 

g = (4p .L) / t = [4. (3,14). 87,22]/ (1,90302)

g = 9,53 m / sn

 

HATA HESABI :

 

DL =   S [( L – Lo)] / 4 = 0,130384048

 

Dt =  S [(tti )] / 4 = 0,008529361

 

(Dg /g).100= (DL/ L).100 + 2.(Dt / t ). 100

 

Dg = [(DL/ L).100 + 2.(Dt / t ). 100] .g /100

 

Dg = 0,189

 

 

DENEYLE İLGİLİ YORUMLAR : Yaptığımız deneyde basit sarkacın yaptığı basit harmonik hareketle yerçekimi ivmesini bulduk. Basit sarkacı kullanırken dikkat ettiğimiz ilk nokta küçük bir açı ile hareket etmesini sağlamaktı. Bunun sebebini teorik bilgi kısmında açıkladım. Periyotun yalnızca ipin uzunluğu ve yerçekimi ivmesine bağlı olması açı değişiminin periyot üzerinde etki etmediğini gösteriyor. Yani aynı yerdeki aynı uzunluktaki bütün sarkaçların periyotları eşittir. Ayrıca kütle de periyota etki etmez. Deneyde kesin doğru sonuca ulaşılamamıştır. Bunun nedenleri; ölçümlerde yapılan hatalar, kronometre kullanımında yapılan hatalar ve hesaplama hatalarıdır.