ikinci ve üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler


A. TANIM

a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

             ax2 + bx + c = 0

biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

 

B. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0

biçiminde yazılabiliyorsa

f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

 

2. Diskiriminant (D) Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi

 

 

 

 


 

ax2 + bx + c = 0

denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.

a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.

    Bu kökleri,

b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.

c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.

    Bu kökler,

    Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.

 

Ü  ax2 + bx + c = 0

    denkleminin kökleri simetrik ise,

1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.

2) Simetrik kökleri gerçel ise,

     b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

 

C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ

     BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,

 

D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;

(x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0  olur.

 

Ü  ax2 + bx + c = 0 … (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.

     Kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine

     yazılarak bulunur.

 

Ü  ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,

   

 

Ü  ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0

    denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,

    ax2 + bx + c = dx2 + ex + f

    (a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.

    Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.

 

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A. TANIM

a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

 

B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ

     BAĞINTILAR

a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,

 

C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem

(x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.

Bu denklem düzenlenirse,

x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0  olur.

 

Ü  ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun.

 

1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

                 x1 + x3 = 2x2 dir.

2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,

                

3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,

                 x1 = x2 = x3 tür.

Ü  n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,

                 anxn + an – 1xn 1 + … + a1x + a0 = 0

denkleminin;

Kökleri toplamı :
 

Kökleri çarpımı :