Matematikte kartezyen çarpım bağıntı ödevi konu anlatımı


A. SIRALI n Lİ

n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.

(a, b) sıralı ikilisinde;

a : Birinci bileşen,

b : İkinci bileşendir.

a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.

(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

 

B. KARTEZYEN ÇARPIM

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.

A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.

A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.

A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır.

 

C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ

   i)  s(A) = m ve s(B) = n ise

       s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.

  ii) A x (B x C) = (A x B) x C

 iii) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)

 iv) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)

  v) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)

 vı) A x Æ = Æ x A = Æ

vıı)

 

 

D. BAĞINTI

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.

Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.

b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir.

 

Ü  s(A) = m ve s(B) = n ise,

    A dan B ye 2m.n tane bağıntı tanımlanabilir.

 

Ü  A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.

 

Ü  s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

    A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı

   

 

Ü  b Ì A x B olmak üzere,

    b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi

    b-1 Ì B x A dır.

    Buna göre, b bağıntısının tersi

    b-1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.

 

E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ

b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

 

1. Yansıma Özeliği

A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.

x Î A için, (x, x) Î b ª b yansıyandır.

 

2. Simetri Özeliği

b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.

(x, y) Î b için (y, x) Î b ª b simetriktir.

 

Ü  b bağıntısı simetrik ise b = b-1 dir.

Ü  s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.

Ü  s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n.n – n) dir.

 

 

3. Ters Simetri Özeliği

b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

x ¹ y iken (x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.
 

b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.

 

4. Geçişme Özeliği

b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

olmalı

b bağıntısının geçişme özelliği vardır.

 

F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ

1. Denklik Bağıntısı

b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.

 

Ü  b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir. y ye denir.

    x º y biçiminde gösterilir.
 

Ü  b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.

    biçiminde gösterilir.

    Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,

    = {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur.

 

2. Sıralama Bağıntısı

A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.