Modüler aritmetik ödevi konu anlatımı


MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır.

b denklik bağıntısı olduğundan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.
 

Ü

ise  a º b (mod m)

      a = b + mk, k Î Z


Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar:

0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir.

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m biçiminde gösterilir.

Buna göre,

Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

a º b (mod m)

c º d (mod m)

olmak üzere,

1) a + c º b + d (mod m)

2) a – c º b – d (mod m)

3) a . c º b . d (mod m)

4) an º bn (mod m)

5) a – b º 0 (mod m)

6) k . a º k . b (mod m) dir.

7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise

8) a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir.

 

Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

 

Ü  x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,

xm – 1 º 1 (mod m) dir.

    x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

Ü  x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi

    m = ak . b r . c p ve

    xT º 1 (mod m) dir.

Ü m asal sayı ise,  (m – 1)! + 1 º 0 (mod m) dir.