Tabaklı ortamda sonlu kaynak fizik ödevi ders notları


TABAKALI ORTAMDA SONLU KAYNAK

 

            Tabakalı ortamda sonlu kaynak tanımı genelde , EM dalga üretici olarak kullanılan manyetik kutup , büyük bir halka , yatay manyetik kutup , elektrik kutup vb kaynakları için yapılır.

Çözüm , düzlem dalga çözümü ve karmaşık geliş açısı ile elde edilen çözümlerin birleştirilmesi ile elde edilir.Problem önceki bölümlerde elde edilen TM ve TE tanımları kullanılarak basitleştirilebilir.Tanım olarak sınır-değer probleminin çözülmesi gerekir.Fiziksel değişimin (parametreler) yalnızca düşey yönde olduğu varsayıldığından (z +) kısmi türevler denklemi , yalnızca z’ye bağlı türev denklemine indirgenebilir.Bu indirgeme Hankel dönüşümü veya 2B Fourier dönüşümü ile yapılır.

 

f(x,y,z) →FD2D→F(kx,ky,z)

 

dönüşümlerde x ve y yönlerinde ∞’a kadar değişim olmadığı kabul edilir.Fourier ortamında çözüm , tabakalı ortam için düzlem dalga empedans bağıntıları ile elde edilir ve çözüme ters fourier dönüşümü uygulanır.Bu yolla elde edilen çözüm , düzlem dalga ile sürekli değişen , karmaşık geliş açısı için elde edilen çözümlerin birleşimi (super position) olacaktır.

            Sınır-değer probleminin genel çözümü , homojen olmayan türev (diferansiyel) denkleminin özel çözümü ile homojen denklemin genel çözümlerinin toplamından oluşacaktır.Çözüm için gerekli genel çözümler , TM ve TE modları kullanılarak bu bölümde elde edilecektir.FD  ortamından dolayı genel çözümler kx ve ky ‘ye bağlı olacaktır.2. adımda seçilen kaynak türüne göre özel çözümler elde edilip genel çözüme eklenecektir.Genel çözümdeki katsayılar , yansıma katsayıları kullanılarak elde edilir.

            Genel çözüm , kaynağın olmadığı ortamda  A , F (vektör potansiyelleri) elektrik alanlar için ve manyetik alanlar için tanımlanırsa ;

           

H=       x A

 

E=-      x F

bağıntıları ile aralarındaki ilişki verilebilir.

 

A=Auz (TM)

F=Fuz   (TE)     TM ve TE vektör potansiyelleri , A ve F skaler potansiyelleri gösterir ve

              

2A+k2A=0

2F+k2F=0

 

koşullarını sağlamalıdırlar.

 

            Son iki bağıntı;

                                                                                               +∞ +∞

F(kx,ky,z) = ∫ ∫ F(x,y,z) e-i(kxx+kyy)  dxdy

                                                                                         -∞ -∞

                                                                                               +∞ +∞

F(x,y,z) = 1 / 4π2  ∫ ∫ F(kx,ky,z) e-i(kxx+,kyy)  dkxdky

                                                                                             -∞ -∞

 

bağıntıları ile sıradan diferansiyel denklemlere dönüştürülebilirler. Dönüşüm sonrası denklem;

                           2A

                          –— – u2A= 0

                    ∂z2                                                                          

 

                            2F

                          –— – u2F= 0

                    ∂z2

           

burada;

 

u2= kx2+ky2-k2

 

son denklemlerin çözümleri düzlem dalga çözümlerine benzer.

 

A (kx,ky,z) = A+( kx,ky,z) e-uz + Aˉ ( kx,ky,z) euz

           

F (kx,ky,z) = F+( kx,ky,z) e-uz + Fˉ ( kx,ky,z) euz

 

Aşağı doğru z + olduğundan, + ve – aşağı ve yukarı doğru giden sönümlenen çözümleri verir. N tabaka göz önüne alınırsa;

Un = (kx2+ky2-kn2)½

 

 n indisi n. tabakayı gösterir. Yeryüzünün üzerinde yalnızca yukarı doğru sönümlenen, tabanda ise aşağı doğru sönümlenen terimler kullanılır.

 


          

                     0        eu0z

           

                     0                                                                                                                                                                  zo

                                                                 

           A +                              

   h1              1      e-u1z    +                1      eu1z                             

           F+                   

                     1                                                     1

                                                                                                                                                                                          z1

 


           A+                                  

   h2             2      e-u2z   +                 2      eu2z                             

           F+                  

                    2                                                      2                                                                                                             

                                                                                                                            z2

 

 

 

 


           A+                                  

   hn             n      e-unz   +                 n      eunz                             

           F+                  

                    n                                                      n                                                                                                             

                                                                                                                               zn-1

 

 

 

 

 

Genelleştirilmiş çözüm; kaynağın bulunduğu tabakada, genel çözüme homojen olmayan, diferansiyel denklemin özel çözümü eklenmelidir. z=-h ta bir nokta kaynak olsun. Kaynak TM ve TE modlarına ayrılırsa havada Green fonksiyonunun özel çözümü (Ward ve Hohmann) ;

 

Ap (kx,ky) e-u0  |z+h|      (TM)

 

Fp (kx,ky) e-u0  |z+h|       (TE)

 

ile verilir.

 

Ap ve Fp kaynağa bağlı terimlerdir ve kaynağın hem altında hem üstünde sönümlenir. Wait (1962) Ap ve Fp’ yi gelen dalganın genliği olarak tanımlar. Yer yüzeyinde (z=0)

 

        Aˉ = rTM Ap e-u0  h

                    0     

 

 

        F ˉ = rTE Fp e-u0  h

                    0     

 

 

yazılabilir.r yansıma katsayılarıdır.

 

                         Y01

   rTE  =  ––––—

                      Y01

 

                         Z0 Ž 1

   rTM  =  ––––—

                      Z0

 

Bağıntılarda ;

              U0

Y0  =   ––––                              asıl admittance

            iωμ0

 

             U0

Z0  =   ––––                              asıl empedans

            0ω

 

 

 

          HyTE       – HxTE

Ŷ1 =  –––– =    ––––                Yüzeydeki admitance  (z=0)

          ExTE         EyTE

 

 

       

           ExTM      – EyTM

Ž 1 =  –––– =    ––––                Yüzeydeki impedance (z=0)

          HyTM         HxTM

 

 

 

Ž ve Ŷ için N tabakalı ortamda yineleme bağıntıları;

 

              Ŷn+1+ Yntgh(unhn)

Ŷn = Yn ————————

    Yn+ Ŷn+1tgh (unhn)

 

 

ŶN= YN

 

Ve

              Žn+1+ Zntgh(unhn)

Žn= Zn ————————

   Zn+ Žn+1tgh(unhn)

 

 

ŽN= ZN

 

Bağıntılarında

 

             Un

Yn  =   ––––                             

            iωμn

 

             Un

Zn  =   ––––                             

            iωεn

 

Un = (kx2+ky2-kn2)½

 

Ve

 

kn2 = ω2μnεn iωμnσn

 

ile verilir.

 

 Basitlik için tek düze manyetik olmayan yarı sonsuz ortamı göz önüne alalım.

 

             Y0-Y1      U0-U1

   rTE  =  ––––— = ––––—              

             Y0+Y1     U0+U1

 

                       

         

 

            Z0– Z 1         U0   iωε0   U1

                                                iωε1

 rTM  =  ––––— = ––––———

         Z0+Z1       U0+   iωε0   U1

                                             iωε1

 

  düşük frekanslarda k0 ve iωε0  çok küçük değer alırlar.          

                λ-U1

      rTE  ———        

                λ+U1

 

       rTM 1

 

burada;

 

λ = (kx2+ky2)½

 

Sonuç olarak TM mod için yer yüzeyindeki tanjansiyel manyetik alan birincil alanın yaklaşık iki katıdır. Tanjansiyel elektrik alan ise sıfırdır. Yer tam iletken olarak tanımlanır.(görünür.)Eğer kaynak yalnızca TM mod alan üretir ise (örn: düşey elektrik kutup) alan yer içindeki iletkenlik değişimine duyarlı olmayacaktır.Özel ve genel çözümleri (birincil ve ikincil çözümler) birleştirirsek kaynak ve yer arasındaki çözüm ;

 

A = Ap eu0  h (e-u0 z+rTMe u0 z)

 

F = F p e-u0  h (e-u0 z+rTEe u0 z)

 

Elde edilir. Ters FD ile

 

 

                                                                       +∞ +∞

A= 1 / 4π2  ∫ ∫  Ap e-u0  h (e-u0 z+rTM eu0  z) ei(kxx+kyy)  dkxdky

                                                                  -∞ -∞

 

Ve

                                                                                                                                                  

                                                                       +∞ +∞

F= 1 / 4π2  ∫ ∫  Fp e-u0  h (e-u0  h+rTE eu0  z) ei(kxx+kyy)  dkxdky

                                                                  -∞ -∞

 

(hatırlatma; λ önceki bölümlerde bulunmuştu)

 

Ters FD denklemlerinde

 

(kxx,kyy) ile λ karşılaştırılırsa burada bulunan çözümlerin; düzlem dalga ve değişken geliş açısı ile elde edilen çözümlerin birleşimi (super position) olduğu görülür. Ancak kx ve ky                                                                          -∞ dan +∞ a değiştiğinden açılar karmaşıktır.

 

Bu aşamadan sonra kaynak türü seçilerek aranan çözümler elde edilebilir.(Koufman ve Keller 1983,Kraichmen 1970,Wait 1982, Ward ve Hohmann 1987, Harrington 1961)